大事な性質：有限次元になる

2倍になりますから。で、この2^{というのは、}が何次元でも同じなんですね。これは、なぜ、こ の話が2次元だけあるかということと関わっている。だから、この汎関数の、今、書いた、(2.76)

のこの性質ですね、これは ^が2次元じゃないと成り立たなくなってしまう。ど ういうことかと いうと、h^{abというのが 、,2}h^{abになるんですが 、}volume form ^{というのは、 のの次元}

乗の、volume form になるんですね。こいつとこいつがぴったりキャンセルするのは、^が2

次元のときだけですから。2^{次元でないと、}(2.76)の式はうまく出ないんです。

2.13 大事な性質：有限次元になる

Met()Map(;M)^! Met()Map(;M)

Di(;~z)ⁿC⁺() ⁿ: skew product (2.79)

そこで、これ 、もう一回割ります。今度はこいつをこれで割るわけです。そうするとですね、再 び非常に大事な性質として、次のことが出て来ます。

大事なこと

Met⁽⁾

Di⁽;~z⁾ⁿC+⁽⁾ は、有限次元になる。 dim = 2 (dim = 3^{のときは、無限次元）}

(2.80) ^のmetric全体というやつを考えて、そいつをですね 、^のdieomorphism^{全体という群で}

割って、さらに、^{上の正値関数、}|^{これ 、本当は}skew product^ですね|^{こいつで割って。}

上の、これとこれの作用は交換可能じゃないですね。あの、baseを動かすと入れ替えだから、こ

れ 、skew product. 両方で割ると、これは有限次元になることが証明できる。これは非常に大事な

性質で、これはですね 、^が2次元ということが役に立つんです。

ど うしていろいろ注意しているかというと。^が2次元のやつというのは、topological sigma model^の中で、string theoryと関係あるやつなんだけれど も、ここ数年、^を3,4^{次元にすると}

いう話が 、いろいろ出てきているんです。それは、非常にうまくいかない理由がいっぱいあるわけ ですが。特に、これは一番うまくいかない。こういうところで、ものを積分したいわけですけれど も、無限次元のところで積分するというのは、話が困るわけです。で、無限次元で積分することは できないから、これを対称性で割ってしまって、有限次元の積分に話を帰着したいんです。そのと きに、今考えているですね 、被積分関数の対称性と、商空間上の積分というのが。

今の場合に何をやるかというと、^のdieomorphism, ^{つまり、座標変換と、}metric^を定数倍

すること。この2つの操作を使ってやると 、有限次元に落ちてし まうということが実はある。こ れは、リーマン面の場合、つまり、2次元の場合に特有の現象です。ところが 、3^{次元以上の多様}

体に関して同じことをやっても、無限次元の多様体にしか落ちてくれないんです。無限次元ですか ら、そこに落としたからといって、話が分かりやすくなるとは限らない。

の概複素構造 （ 高次元でも適用できるように、概を付けた） (2.81)

今、2^{次元多様体 を考える。}の複素構造を考えてみます。の複素構造とは何か。定義 は、高次元でも通用するように「概」を付けておきます。

( J :Tp^!Tp; ⁸p

J² =^,1 (2.82)

^{の概複素構造1}は何かといいますと 、J ^{というですね 、}tangent space T_p^{から 、}tangent spaceTp^{への、こういう}map^{があって、こいつ}J ^を2^{回やると、,}1^{になる。こういうもの}

です。

Tp =^R2

J^をp,1^{倍だと思う}

J :Tp^!Tp =^C (2.83)

T_p^はR2 なんですが 、ここで、J^{というのをp,}1倍する操作だと思うことによって、T_p

というのは、複素ユークリッド 空間と思えます。Tpの複素ユークリッド 空間としての思い方と いうのを、まあ概複素構造というわけですけど 。

8(;h) h:^計量; Tp^上の内積 (2.84)

これから、こういうことが分かるんです。今ですね、^と、hという任意の計量に対して、何 か、J というのがあって、これは、oriented^です。

1(n;m)-^{テンソルとは、}

TMTMTMTM^!R

のことである。よって、(1;1)-^{テンソルは、}

TMTM^!R

となる。TM^からTM ^への写像J^は、(1;1)-^{テンソルと見なせる。}

0

B

B

@

* J : TM^!TM^{とすると、}J(v)²TM

ゆえに、w²TM^{に対して、}w(J(v))^2R

よって、J : TMTM^!Rを (v;w)^7!w(J(v))^{と定義できる。}

1

C

C

A

さて、n^{次元複素多様体}M^は、2n次元実多様体と見なせる。その座標を(x¹;y¹;:::;xn;yn)^{とすると、}

@x@i ^! @

@yi; @@yi ^!, @

@xi

と対応させることによって、写像J : TM^!TM^{（つまり、}(1;1)-^{テンソル ）で、}J²=^,1となるものが作れる。これ を踏まえて、逆に 、2n^{次元実多様体}M ^{に対して、}(1;1)-^テンソルJ^で、J²=^,1を満たすものが与えられたとき、

Mに概複素構造が与えられたと言う。（岩波・数学辞典 第2^版p.265^参照。）

概複素構造とは 、TpM ^にCⁿの構造を入れられるようなM ^{の構造である。}（物理学者のためのトポロジーと幾何学

C.^ナッシュ, S.^セン著p.167参照）概複素構造については、第3章で、もう一度触れる。

2.14. ^{概複素構造} 53

9J

( h(JV;JW) =h(V;W)

h(JV;V) = 0 (2.85)

ど うし てかというと 、これは 、ほとんど 明らかでし て。各点 p ^{で考えるんですが 。} Tp ^の orthogonal basise¹,e^{2をこっちに代入する。}90^度回転。

* Tp^{の正規直交基底}e¹;e² e¹;e^{2は向きを保つ}

( J(e¹) =e² J(e²) =^,e¹

(2.86)

J^は(Tp;h;p)^{で決まって、}e¹;e^{2の取り方に依らない。} (2.87) 2次元であることを使うと、J ^{はですね、}Tp^と h,p^{で決まっている。}e¹,e^{2は、向きを保つ}

正規直交基底です。要するに 、J ^{というのは 、}e¹,e²の取り方に依らないわけです。これは、線 形同型。このJ ^{は、正の向きに}90度回転ですから。これも2次元を使っていますけれど も。

(;J) : 2^{次元の概複素多様体} (2.88)

次にですね、もう一回、2^{次元を使います。}2次元の概複素多様体というわけですが 。

8p²; ⁹':p^のneighbourhood^の座標; ':Up^!R2 =^C (2.89)

今、任意の p^{に対して、}'^という、p^のneighbourhoodUp の座標がある。要するに、Up ^か

ら、^R2 上に行くわけですが。これ 、^C だと思って。

q²Up

Tq^!T_'⁽_q^)C =^C (2.90)

q^を U_p^{の任意の点とすると、}T_q^は、'^{の微分によって}T_'⁽_q^{)C に写る。これは C ですけれ}

ど も。

Tq^!p,1^倍に写る

つまり、local^には(;J)^{はC と思い、複素多様体}(complex manifold) (2.91) (;h) (;Jh)

# .

(;J) 2^次元complex manifold (2.92)

ここにJ というのがあるわけですが。これは、この

p

,1^{倍。つまり、}local^には、J ^は、C

と。こういうとき「概」を付けて、概複素構造という風に言います。 (;h)^{を考えると 、こいつ}

からですね、こういう、(;J)という複素多様体があるんです。リーマン面ですけれど も。

( h(JV;JW) =h(V;W)

h(JV;V) = 0 ^は、h^をh^{に置き換えても同じ} (2.93)

さっきの条件というのは、h(JV;JW)^{というのが} h(V;W)^で、後、h(JV;V)^が0^{でした。こ}

れはですね、h^{を 倍の}hで置き換えても同じなわけです。だから、これは、(;h)^を (;h)

としても同じことです。

Met()=C⁺() Di(;~z)

Hol() =^fJ^jJ² =^,1^g Di(;~z) (2.94)

さっき、Met()^を C⁺()で割ったこういうところから、Hol()^へのmap^{ができた。リーマ}

ン計量の共形類から複素構造への写像ができたわけです。これが実は同型になっているというのが 良く知られている。さらに、Di(;~z)というのが作用するわけですが。

J :T^!T : ^!

( J)(V) = (d ^,1Jd )(V) (2.95) Di(;~z)の作用は何かというと。 J :T^!T^{というのを} J で写したというのは、こう なるんですね。

Hol(;~z)

Di() =^Mg;mは、6g^,6 + 2m^次元のorbifold^になる。 (2.96)

そこでですね 、こういうことが成り立ちます。Hol()^{というのを 、}Di(;~z)^{で割ったやつと}

いうのは 、有限次元のorbifold | orbifoldについては、後で説明しますが²| 6g^,6 + 2m^次元

のorbifold^になる3。これは、誰でしょう、リーマンかな。大切なことは、こういう複素構造の話

に持ち込むことによって、^Mg;m というのが有限次元になるということで。これは概複素構造な んですが。これが自動的にいつも複素構造になるかというと、そういうのは2^{次元特有の現象で、}

高次元では期待できない。

Met()Map(;M)

Di(;~z)C⁺() (2.97)

Met()

Di(;~z)C⁺() =^Mg;m (2.98)

2第3^{章で説明する。}

3これについては、第3^{章でもう一度述べる。}

2.15. ^{今後の話の見通し} 55

図 2.2: Orbifold : m= 4,g= 3

これは有限次元空間です。この商空間は、モジュライ空間というもので。g^{は穴の数で、}m^は

点の数です。今、こういう有限次元の空間を考えます。そうするとですね、さっき、metric^全体と

いうのとmap全体というのを考えて、これを、この2つの群で割ったわけです。

ev : Map(;M)^!M^m (2.99)

さっきのevaluation map^{というのは、}Map(;M)^{というところから、}M^mへのmap^です。

R

Mg;m^Dh^{R D}'ev(u¹u²um)e^,E(h;')

Mg;mは、全部でなく、一部分でもよい

u¹;:::;um²H_DR (M)

(2.100)

さっき考えた積分というのは、結局こういうことになるんですね。まず、後から積分するのは、

Riemann面の複素構造の方であるとします。その前に、map^{の方で積分して、}evaluation map^の u¹u²um^の e^,E(h;'),^これは、well-denedです。こういうことですね。この積分をも うちょっと一般化したいんです。^Mg;m 全部で積分しているんですが 、これは全部でじゃなくて、

一部分で積分しても十分なんです。一部分というのはど ういうことかといいますと。

[w]²H(^Mg;m)^{を取る （}w^は submanifold^） (2.101)

今、何でもいいからですね、[w]^{という、M}g;mのホモロジーの元を取りましょう。w^は、有

限次元の部分多様体ですけれども。

w^Dh ev(u¹u²um)e^,E(h;')D' (2.102)

そこで、^Mg;m^{での積分の代わりに} w^での |w^{は、有限次元ですから} |^{こういう積分をす}

る。u^1から umというのは 、ド ・ラム コホモロジーの元。こういうことを計算したいんだとい うことだけ説明しているわけで、この積分が実際に実行できるわけじゃないんですが 。もうちょっ と正確に言いますと、こうなんですね。

話をちょっと変えて、[w]^と [ui]だけで決まるようにできる。 (2.103)

この積分が 、w^のhomology class [w] ^と ui ^のcohomology class [ui] ^{だけで決まるようにで}

きる。話をちょっと変えて、この（コ ）ホモロジー・クラスだけで決まるようにできる。これは全

然、trivialじゃなくて、この式をまともにやると 、そういうことは言えないわけで。これがです

ね、topologicalな状況、そういう状況では、これを 数学的に解釈できる というものなんですが 。

ええと、それはまた次にして、今回はここまでにしたいんです。

57

第 3 章 （ 上） 点付きリーマン面のモジュラ

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